Hallo zusammen, willkommen zur Übung heute zur Merkkörperdynamik und genau wir wollen heute

noch mal ein bisschen wiederholen was in der letzten Übung dran war, da hat ja mein Kollege

Massenthekatsmomente eingeführt, das wollen wir heute quasi noch mal ein bisschen wiederholen

im Endeffekt und das Ganze auch noch mal anwenden auf ein kleines dynamisches Problem, wo wir

Rotationsbewegungen haben, genau, weil wir dann nämlich erst nächste Woche mit dynamischen Systemen

mit Zwangsbedingungen anfangen wollen, das wurde quasi gestern ja in der Vorlesung gestartet und

das wollte ich jetzt erstmal noch ein bisschen sacken lassen und nächste Woche wollen wir dann

auch dieses Thema hier dann in der Übung bearbeiten. So, das heißt wir machen heute

Aufgabe 25, 27 und 28 und, oh, ah, es geht, ja wunderbar, also ist er doch da, dann können wir also, ja, mit der

Aufgabe 25 starten, es geht darum, dass wir einfach das Massenthekatsmoment von einem Körper berechnen

wollen, der eine elliptische Grundfläche hat und eine Ausdehnung nach hinten, der Körper ist also

hier beschrieben, wir sehen hier also die elliptische Gleichung und das X und Y-Werte,

also genau, also genau diese Ellipse beschreiben und Z nimmt Werte an zwischen minus H halbe und

plus H halbe, auf der nächsten Seite sehen wir auch noch mal wie dieser Körper aussieht, also

diese elliptische Grundfläche, wir haben die Halbachsen A und B und eine Ausdehnung in

Z Richtung mit der Länge H. Genau, und was uns jetzt als erstes interessiert ist, dass wir die

Masse von diesem Körper berechnen, von diesem Zylinder und dann auch noch die Hauptträgheitsmomente

berechnen. Gut, jetzt machen wir es im Endeffekt. So mal wieder weg, das heißt wir kommen zur

Aufgabe 25 und haben also einen Körper, der hat wie gesagt diese elliptische Grundfläche,

und wenn wir halt im Endeffekt irgendwie einen Körper haben, der rotationssymmetrisch ist,

dann bietet es sich immer an passende Koordinaten zu verwenden, in diesem Fall ganz klassisch,

natürlich wir haben hier einen Zylinder, dann verwenden wir auch Zylinderkoordinaten und in

dem Fall elliptische Zylinderkoordinaten. Das heißt wir haben dann ein Radius, ein Winkel Phi und

eine Achse Z und wir wollen jetzt dann unsere quasi eine Koordinatentransformation durchführen

und jetzt unsere alten Koordinaten X und Y und Z, Z kommt hier quasi aus der Ebene heraus,

und unsere alten Koordinaten mit Hilfe der neuen Koordinaten R, Phi und Z ausdrücken.

Wir wissen, dass die Halbachse hier klein a ist und die Halbachse hat die Länge b,

das heißt, wenn wir jetzt dann also einen Punkt hier beschreiben wollen mit dem Winkel Phi und

dem Radius R, dann können wir also die X-Koordinate ausdrücken mit a mal R mal Cosinus Phi,

y mit b mal R mal Sinus Phi und z ist gleich z. Der Radius R nimmt die Werte zwischen 0 und 1 an,

der Winkel Phi nimmt Werte an zwischen 0 und 2 Pi und z haben wir gesagt geht von minus h halbe

bis plus h halbe. Das ist jetzt quasi unsere Koordinatentransformation und da wir ja jetzt

ein Volumenintegral berechnen wollen, brauchen wir noch die Funktionaldeterminante, das heißt,

wir brauchen also die Determinante der Jacobi-Matrix von dieser Koordinatentransformation,

das heißt wir leiten unsere alten Koordinaten nach unseren neuen Koordinaten ab. Also leiten

wir die X-Koordinate nach R ab, dann bekommen wir a Cosinus Phi und leiten wir nach Phi ab,

dann bekommen wir minus a R Sinus Phi und leiten wir nach z ab eine Null. Dann leiten wir unseren

Ausdruck für y nach den neuen Koordinaten ab, nach R abgeleitet bekommen wir b mal Sinus Phi,

nach Phi abgeleitet bekommen wir dann b R Cosinus Phi und eine Null, wenn wir nach z

ableiten und dann leiten wir noch z ab nach R, das ist Null, nach Phi abgeleitet ist Null und z nach z

abgeleitet ergibt die 1. Das ganze davon nehmen wir jetzt die Determinante und die berechnet sich

dann zu, hier haben wir a mal b mal R mal Cosinus Quadrat Phi, dann kriegen wir hier nur Nullen und

dann haben wir hier quasi noch einmal b mal Sinus Phi mal minus a R mal Sinus Phi, das heißt wir

kriegen hier ein Plus ab R Sinus Quadrat Phi und als Ergebnis einfach a mal b mal R. Ja und jetzt

können wir uns die Masse berechnen, mit Hilfe dieser Koordinatentransformation haben wir uns

einfach das Leben jetzt leichter gemacht, man kann das natürlich auch mit x und y Koordinatensystem

machen, aber ist halt deutlich schwieriger, vor allem ist es da schwierig die Integrationsgrenzen

festzulegen. So also einmal die Masse von diesem Körper, wir integrieren also über unseren Körper

Dichte mal dV, also summieren im Endeffekt die ganzen kleinen Volumenelemente multipliziert mit

der Dichte, die ist angenommen, dass sie konstant ist über den Körper, addieren wir auf, das ist